Calculateur de rayon du cercle inscrit d’un triangle
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 20/08/2026
Le rayon du cercle inscrit d'un triangle (le plus grand cercle qui tient à l'intérieur, tangent aux trois côtés) se calcule avec r = Aire ÷ s, où s est le demi-périmètre et l'aire est obtenue par la formule de Héron. Pour un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, ce rayon vaut exactement 1.
Explication
Le cercle inscrit (ou incercle) d'un triangle est le plus grand cercle qui peut tenir entièrement à l'intérieur de la figure, tangent aux trois côtés à la fois ; son centre, appelé incentre, est le point d'intersection des trois bissectrices des angles du triangle. Son rayon se calcule avec r = Aire ÷ s, où s = (a+b+c)/2 est le demi-périmètre et l'aire provient de notre calculateur d'aire de triangle (formule de Héron), réutilisée directement en interne par ce calculateur. Ce rayon inscrit complète le calculateur de rayon circonscrit du site : les deux cercles remarquables d'un triangle, l'un contenu à l'intérieur et tangent aux côtés, l'autre passant par les trois sommets et le contenant entièrement, se calculent à partir des mêmes trois longueurs de côtés mais avec des formules différentes (r = Aire/s contre R = abc/(4×Aire)). Un cas particulier permet de vérifier ce calcul de façon indépendante : pour tout triangle rectangle d'hypoténuse c et de cathètes a et b, une identité géométrique classique donne r = (a + b − c) ÷ 2 — appliquée au triangle 3-4-5, cela redonne (3+4−5)/2 = 1, exactement la valeur obtenue par la formule générale. Le rayon inscrit intervient en architecture et en design pour inscrire le plus grand cercle possible dans un gabarit triangulaire, ainsi qu'en optimisation géométrique.
Exemple : triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5
Données d'entrée
Côtés : a = 3 m, b = 4 m, c = 5 m.
Calcul
s = (3+4+5) ÷ 2 = 6. Aire = √(6×3×2×1) = √36 = 6 m². r = 6 ÷ 6 = 1 m.
Résultat
Le rayon du cercle inscrit dans ce triangle rectangle est de 1 m, confirmé indépendamment par (3+4−5)÷2 = 1.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le cercle inscrit et le cercle circonscrit ?
Le cercle inscrit est le plus grand cercle contenu à l'intérieur du triangle, tangent à ses trois côtés (rayon r = Aire/s). Le cercle circonscrit est au contraire le cercle qui passe exactement par les trois sommets et contient tout le triangle (rayon R = abc/(4×Aire)). Pour un même triangle, ces deux rayons sont presque toujours différents : R est toujours au moins deux fois plus grand que r (égalité uniquement pour un triangle équilatéral).
Qu’est-ce que l’incentre d’un triangle ?
L'incentre est le centre du cercle inscrit : c'est le point où se croisent les trois bissectrices des angles du triangle. Contrairement au centre du cercle circonscrit, qui peut se trouver à l'extérieur d'un triangle obtusangle, l'incentre est toujours situé à l'intérieur du triangle, quelle que soit sa forme.
Pourquoi ce calculateur affiche-t-il un résultat vide pour certaines valeurs ?
Trois longueurs ne forment pas toujours un triangle valide : elles doivent respecter l'inégalité triangulaire (la somme de deux côtés doit toujours dépasser le troisième). Si ce n'est pas le cas, comme pour les côtés 1, 1 et 10, aucun triangle réel n'existe et ni l'aire ni le rayon inscrit ne peuvent être calculés.