Calculateur d’aire d’un quadrilatère cyclique (formule de Brahmagupta)
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 25/08/2026
La formule de Brahmagupta donne l'aire d'un quadrilatère cyclique (dont les quatre sommets sont sur un même cercle) à partir de ses quatre côtés a, b, c, d : Aire = √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)), avec s le demi-périmètre. Pour un rectangle de côtés 3 et 4, l'aire calculée vaut exactement 12, comme attendu.
Explication
Un quadrilatère est dit cyclique lorsque ses quatre sommets peuvent tous être placés sur un même cercle — ce n'est pas le cas de tous les quadrilatères (un losange non carré, par exemple, n'est pas cyclique), mais c'est le cas de tous les rectangles, de tous les carrés, et de bien d'autres formes à quatre côtés. La formule de Brahmagupta, découverte par le mathématicien indien du même nom au VIIe siècle, permet de calculer l'aire de ce quadrilatère à partir de la seule longueur de ses quatre côtés — sans jamais avoir besoin de connaître ses angles ni les coordonnées de ses sommets, ce qui la rend particulièrement utile en relevé de terrain, où les longueurs des côtés sont souvent mesurables directement alors que les coordonnées précises des coins ne le sont pas toujours. Cette formule généralise directement la formule de Héron pour l'aire d'un triangle : un triangle est en réalité toujours cyclique (trois points définissent toujours un unique cercle qui les contient tous), et si l'on considère un triangle comme un quadrilatère dont le quatrième côté est de longueur nulle, la formule de Brahmagupta se réduit exactement à celle de Héron — un triangle 3-4-5 traité comme quadrilatère (3,4,5,0) donne d'ailleurs exactement la même aire de 6 par les deux formules. Pour un quadrilatère qui n'est PAS cyclique, cette formule ne s'applique pas : le calculateur d'aire d'un quadrilatère à partir de ses coordonnées, qui fonctionne pour n'importe quel quadrilatère simple quelle que soit sa forme, est alors l'outil approprié, à condition de connaître les positions exactes des quatre sommets plutôt que seulement leurs côtés.
Exemple : rectangle de 3 sur 4
Données d'entrée
Côtés : a=3, b=4, c=3, d=4.
Calcul
s = (3+4+3+4) ÷ 2 = 7. Aire = √((7−3)(7−4)(7−3)(7−4)) = √(4×3×4×3) = √144 = 12.
Résultat
L’aire de ce rectangle vaut exactement 12 — le résultat attendu, puisqu’un rectangle 3×4 a bien pour aire 3×4=12, et qu’un rectangle est toujours un quadrilatère cyclique.
Questions fréquentes
Comment savoir si mon quadrilatère est bien cyclique avant d’utiliser cette formule ?
Certaines formes sont toujours cycliques par construction : tout rectangle, tout carré, et plus généralement tout quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires (leur somme fait 180°). En dehors de ces cas simples, il n'existe pas de moyen de le vérifier à partir des seules longueurs des côtés : quatre longueurs de côtés données peuvent en général former plusieurs quadrilatères différents de formes différentes, dont un seul est cyclique — cette formule calcule alors l'aire de CE quadrilatère cyclique précis, pas celle d'un autre quadrilatère non cyclique qui partagerait les mêmes longueurs de côtés.
Pourquoi cette formule redonne-t-elle exactement la formule de Héron quand un côté est nul ?
Parce qu'un quadrilatère dont un côté a une longueur nulle est en réalité un triangle déguisé : les deux sommets reliés par ce côté nul sont confondus, ce qui ramène la figure à trois sommets distincts, donc à un triangle. Puisqu'un triangle est toujours cyclique par nature, ce cas particulier retombe exactement sur la formule de Héron, une belle illustration du fait que la formule de Brahmagupta est une véritable généralisation de celle de Héron, et non une simple coïncidence de structure.
Que se passe-t-il si les quatre côtés ne peuvent former aucun quadrilatère cyclique valide ?
La formule exige que chacun des quatre termes (s−a), (s−b), (s−c) et (s−d) reste strictement positif — une condition directement liée à l'inégalité quadrilatère généralisée, qui impose qu'aucun côté ne puisse dépasser la somme des trois autres. Si cette condition n'est pas respectée, l'expression sous la racine carrée devient négative, ce qui signifie qu'aucun quadrilatère cyclique valide ne peut exister avec ces quatre longueurs de côté données, quel que soit leur ordre.