Calculateur de loi hypergéométrique
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 16/08/2026
La loi hypergéométrique donne P(X=k) = C(K,k) × C(N−K,n−k) ÷ C(N,n), la probabilité d'obtenir exactement k succès en tirant n éléments sans remise dans une population de N éléments contenant K succès. Pour 5 cartes tirées d'un jeu de 52 (13 cœurs), la probabilité d'obtenir exactement 2 cœurs est d'environ 27,43 %.
Explication
La loi hypergéométrique modélise les tirages sans remise, où chaque élément tiré n'est pas remis dans la population avant le tirage suivant — contrairement à la loi binomiale (déjà couverte par notre calculateur de loi binomiale), qui suppose une probabilité de succès identique à chaque tirage, typiquement parce que l'élément est remis en place ou que la population est si grande que le retirer ne change quasiment rien. Tirer des cartes d'un jeu sans les remettre, piocher des boules dans une urne, ou sélectionner un échantillon dans une population finie pour un contrôle qualité sont des situations typiques de tirage sans remise : chaque élément retiré change la composition de ce qui reste, donc la probabilité du tirage suivant. La formule combine trois termes de combinaisons (le nombre de façons de choisir k succès parmi les K disponibles, multiplié par le nombre de façons de choisir le reste de l'échantillon parmi les éléments non-succès, le tout rapporté au nombre total de façons de tirer l'échantillon complet) déjà couvertes individuellement par notre calculateur de permutations et combinaisons. Plus la population N est grande par rapport à la taille de l'échantillon n, plus la différence entre tirage avec et sans remise devient négligeable, et la loi hypergéométrique se rapproche alors d'une loi binomiale équivalente — un repère utile pour savoir laquelle des deux lois choisir selon le contexte.
Exemple : 5 cartes tirées d'un jeu de 52, probabilité d'exactement 2 cœurs
Données d'entrée
Population (N) : 52 cartes. Succès dans la population (K) : 13 cœurs. Échantillon tiré (n) : 5 cartes. Succès recherché (k) : 2 cœurs.
Calcul
P(X=2) = C(13,2) × C(39,3) ÷ C(52,5) = 78 × 9139 ÷ 2 598 960 ≈ 0,2743.
Résultat
La probabilité de tirer exactement 2 cœurs sur 5 cartes est d'environ 27,43 %.
Questions fréquentes
Quelle est la différence concrète entre la loi binomiale et la loi hypergéométrique ?
La loi binomiale suppose que la probabilité de succès reste rigoureusement identique à chaque tirage (tirage avec remise, ou population si grande que le prélèvement ne la modifie pas sensiblement). La loi hypergéométrique, elle, tient compte du fait que chaque élément tiré change la composition de ce qui reste : après avoir tiré un cœur d'un jeu de cartes, il reste moins de cœurs proportionnellement parmi les cartes restantes, ce qui modifie la probabilité du tirage suivant.
Quand peut-on approximer une loi hypergéométrique par une loi binomiale ?
Lorsque la population N est très grande par rapport à la taille de l'échantillon n (une règle empirique courante est n inférieur à environ 5 % de N), retirer quelques éléments sans remise change si peu la composition restante que la loi binomiale donne une approximation raisonnable, souvent plus simple à calculer.
Pourquoi la taille de la population est-elle plafonnée à 170 dans ce calculateur ?
Parce que le calcul repose sur des factorielles, et que 171! dépasse la plus grande valeur représentable en précision numérique standard (nombre à virgule flottante double précision), au-delà de laquelle le résultat dégénère en une valeur infinie côté calcul intermédiaire — la même limite que celle déjà appliquée à notre calculateur de permutations et combinaisons.