Calculateur de loi géométrique
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 16/08/2026
La loi géométrique donne P(X=k) = (1−p)^(k−1) × p, la probabilité que le premier succès survienne exactement au k-ième essai. Pour une probabilité de succès de 20 % à chaque essai, la probabilité que le premier succès survienne exactement au 3ᵉ essai est d'environ 12,8 %.
Explication
La loi géométrique modélise le nombre d'essais nécessaires avant d'obtenir le premier succès, dans une série d'essais indépendants où la probabilité de succès p reste constante à chaque tentative (lancer une pièce jusqu'au premier pile, tenter un tir au but jusqu'au premier but marqué, tester des pièces jusqu'à la première défectueuse). Elle répond ainsi à une question différente de la loi binomiale (déjà couverte par notre calculateur de loi binomiale), qui compte le nombre de succès sur un nombre d'essais fixé à l'avance : la loi géométrique, elle, laisse le nombre d'essais libre et s'arrête dès le premier succès obtenu. La probabilité que ce premier succès survienne exactement au k-ième essai diminue à mesure que k augmente (il faut d'abord échouer k−1 fois, chaque échec ayant une probabilité 1−p, avant de réussir), ce qui donne une distribution en décroissance exponentielle. L'espérance mathématique, 1/p, donne le nombre moyen d'essais nécessaires avant le premier succès : plus un succès est rare (p petit), plus il faut en moyenne d'essais pour l'obtenir, une relation intuitive qui se vérifie directement dans la formule. Cette loi partage une propriété d'absence de mémoire avec la loi exponentielle continue (déjà couverte par notre calculateur de loi exponentielle), dont elle est en réalité l'équivalent en temps discret.
Exemple : p = 0,2, premier succès exactement au 3ᵉ essai
Données d'entrée
Probabilité de succès par essai : 20 %. Essai visé : 3ᵉ.
Calcul
P(X=3) = (1 − 0,2)^(3−1) × 0,2 = 0,8² × 0,2 = 0,64 × 0,2 = 0,128, soit 12,8 %. Espérance = 1 ÷ 0,2 = 5 essais en moyenne.
Résultat
La probabilité que le premier succès survienne exactement au 3ᵉ essai est de 12,8 %, pour une moyenne de 5 essais avant succès.
Questions fréquentes
Pourquoi la probabilité diminue-t-elle à mesure que k augmente ?
Parce qu'obtenir le premier succès exactement au k-ième essai suppose d'avoir d'abord échoué k−1 fois de suite, chaque échec ayant une probabilité (1−p) strictement inférieure à 1. Plus k est grand, plus il faut enchaîner d'échecs consécutifs pour arriver jusque-là, ce qui rend cet enchaînement de plus en plus improbable — d'où la décroissance de la probabilité à mesure que k augmente.
Quelle est la différence entre P(X=k) et P(X≤k) ?
P(X=k), calculée ici, donne la probabilité que le premier succès survienne exactement au k-ième essai, ni avant ni après. P(X≤k) donnerait la probabilité cumulée que le premier succès survienne au plus tard au k-ième essai (donc à l'essai 1, 2, 3... ou k), une question différente qui nécessiterait de sommer les probabilités de tous ces cas.
Cette loi suppose-t-elle que chaque essai est indépendant des précédents ?
Oui, c'est une condition essentielle : la probabilité de succès p doit rester strictement identique à chaque essai, sans être influencée par les résultats précédents (contrairement, par exemple, à un tirage sans remise, où la probabilité change à chaque tirage). Un lancer de dé ou de pièce répété dans des conditions identiques respecte bien cette hypothèse d'indépendance.