Calculateur de loi binomiale
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 15/08/2026
La probabilité binomiale se calcule avec P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k). Pour 10 lancers d'une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir exactement 3 « pile » est d'environ 11,72 %.
Explication
La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus sur un nombre fixe d'essais indépendants, chaque essai n'ayant que deux issues possibles (succès ou échec) avec une même probabilité de succès p à chaque fois — un schéma appelé épreuve de Bernoulli répétée n fois. La formule combine trois éléments : le nombre de façons différentes d'obtenir exactement k succès parmi n essais (C(n,k), le nombre de combinaisons, calculé avec notre calculateur de combinaisons et permutations), la probabilité que k essais précis réussissent (p^k), et la probabilité que les n−k essais restants échouent ((1−p)^(n−k)). Ce modèle s'applique à de nombreuses situations concrètes : la probabilité d'obtenir un nombre donné de « pile » sur plusieurs lancers de pièce, le nombre de pièces défectueuses dans un lot de production à taux de défaut connu, ou le nombre de répondants favorables dans un sondage à taux d'adhésion connu — à condition que chaque essai soit réellement indépendant des autres et que la probabilité de succès reste constante d'un essai à l'autre.
Exemple : 10 lancers de pièce, probabilité de 3 « pile »
Données d'entrée
Nombre d'essais : 10. Succès recherchés : 3. Probabilité de succès : 50 %.
Calcul
P(X=3) = C(10,3) × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, soit 11,72 %.
Résultat
La probabilité d'obtenir exactement 3 « pile » sur 10 lancers est d'environ 11,72 %.
Questions fréquentes
Quelle est la différence avec une simple combinaison C(n,k) ?
La combinaison C(n,k) compte seulement le nombre de façons d'obtenir k succès parmi n essais, sans tenir compte de leur probabilité individuelle. La loi binomiale va plus loin en pondérant ce nombre par la probabilité réelle que ce scénario précis se produise, ce qui donne une vraie probabilité (entre 0 et 100 %) plutôt qu'un simple décompte de possibilités.
Cette formule s'applique-t-elle à n'importe quelle situation avec deux issues possibles ?
Seulement si deux conditions sont respectées : chaque essai doit être indépendant des autres (le résultat d'un essai n'influence pas les suivants), et la probabilité de succès doit rester constante d'un essai à l'autre. Un tirage sans remise dans une population finie (où chaque tirage change les probabilités restantes) ne suit pas exactement une loi binomiale, mais une loi hypergéométrique.
Comment calculer la probabilité d'au moins k succès, plutôt qu'exactement k ?
Il faut additionner les probabilités de k, k+1, k+2, jusqu'à n succès (ou soustraire de 100 % la somme des probabilités de 0 à k−1 succès). Ce calculateur donne la probabilité d'un nombre exact de succès ; pour une probabilité cumulée, il faut répéter le calcul pour chaque valeur de k concernée et additionner les résultats.