Calculateur de combinaisons avec répétition
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 18/08/2026
Le nombre de combinaisons avec répétition se calcule avec C(n+r−1, r) = (n+r−1)! ÷ (r! × (n−1)!), où n est le nombre de types disponibles et r le nombre de choix effectués. Pour 3 parfums de glace et 2 boules choisies (un même parfum pouvant être repris), il existe exactement 6 combinaisons possibles.
Explication
Ce calculateur complète directement notre calculateur de combinaisons et permutations, qui traite le cas SANS répétition (chaque élément ne peut être choisi qu'une seule fois, comme piocher des cartes différentes dans un jeu). Ici, au contraire, un même type peut être choisi plusieurs fois : c'est exactement la situation d'un choix de r boules de glace parmi n parfums disponibles, où rien n'empêche de prendre deux boules du même parfum. Cette différence change complètement le compte : avec 3 parfums et 2 boules, il existe 6 combinaisons possibles avec répétition (dont les trois « doubles » : deux boules du même parfum), contre seulement 3 sans répétition (aucun doublé autorisé). La formule C(n+r−1, r) peut sembler surprenante à première vue, mais elle s'explique par un argument combinatoire classique dit des « barres et étoiles » : choisir r éléments avec répétition parmi n types revient exactement à répartir r étoiles (les choix) entre n compartiments (les types) séparés par (n−1) barres, soit à choisir la position de r étoiles parmi (n+r−1) symboles au total — d'où la formule. Ce type de dénombrement intervient dans de nombreuses situations concrètes au-delà des exemples ludiques : répartir des ressources identiques entre plusieurs catégories, ou compter le nombre de façons de former un multi-ensemble à partir d'un ensemble de types donnés — un dénombrement qui sert souvent de première étape avant d'appliquer notre calculateur de probabilité simple, une fois le nombre total de cas possibles ainsi établi.
Exemple : 3 parfums de glace, 2 boules choisies
Données d'entrée
Nombre de types (n) : 3. Nombre de choix (r) : 2.
Calcul
C(3+2−1, 2) = C(4, 2) = 4! ÷ (2! × 2!) = 24 ÷ 4 = 6.
Résultat
Il existe exactement 6 façons de choisir 2 boules de glace parmi 3 parfums, avec répétition autorisée.
Questions fréquentes
Quelle est la différence avec les combinaisons sans répétition ?
Dans les combinaisons sans répétition (notre calculateur de combinaisons et permutations), chaque élément ne peut être choisi qu'une seule fois — comme piocher des cartes distinctes dans un jeu. Avec répétition, un même élément peut être choisi plusieurs fois, ce qui augmente toujours le nombre total de combinaisons possibles, puisque toutes les combinaisons sans répétition restent valables, en plus de celles qui répètent au moins un élément.
Pourquoi la formule utilise-t-elle (n+r−1) plutôt que n directement ?
Parce que la formule repose sur un argument combinatoire équivalent (la méthode des « barres et étoiles ») : répartir r choix entre n types revient à positionner r symboles parmi (n+r−1) emplacements possibles, une fois les (n−1) séparateurs entre types pris en compte. Ce détour mathématique permet de ramener un problème de répétition à un problème de combinaison classique, déjà bien connu.
Que se passe-t-il si r vaut 0 ?
Choisir 0 élément ne laisse qu'une seule possibilité (ne rien choisir du tout), quel que soit le nombre de types disponibles n — un résultat que la formule retrouve automatiquement, puisque C(n−1, 0) vaut toujours 1 pour tout n supérieur ou égal à 1.