Calculateur du nombre de diagonales d’un polygone
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 18/08/2026
Le nombre de diagonales d’un polygone convexe à n côtés se calcule avec D = n × (n − 3) ÷ 2. Un hexagone (6 côtés) a donc 9 diagonales.
Explication
Une diagonale relie deux sommets d’un polygone qui ne sont pas déjà reliés par un côté. Pour compter les diagonales, on peut raisonner sommet par sommet : chaque sommet peut se relier à n−3 autres sommets par une diagonale — on exclut le sommet lui-même, ainsi que ses deux voisins immédiats, déjà reliés à lui par un côté du polygone, pas une diagonale. En multipliant ce nombre n−3 par les n sommets du polygone, chaque diagonale est comptée exactement deux fois (une fois depuis chacune de ses deux extrémités), ce qui explique la division par 2 dans la formule finale D = n(n−3)/2. Cette formule confirme au passage un résultat intuitif : un triangle (n=3) n’a aucune diagonale, puisque tous ses sommets sont déjà reliés deux à deux par ses trois côtés — c’est d’ailleurs le plus petit polygone qui existe. Le nombre de diagonales croît beaucoup plus vite que le nombre de côtés : un polygone à 10 côtés en compte déjà 35, et un polygone à 20 côtés en compte 170, une croissance quadratique (proportionnelle à n²) que l’on retrouve dans d’autres problèmes de dénombrement de paires, comme le nombre de permutations et combinaisons possibles dans un ensemble d’objets. Ce dénombrement de diagonales sert notamment à trianguler un polygone (le découper en triangles à l’aide de diagonales qui ne se croisent pas), une opération de base en infographie et en calcul de structures, et intervient aussi indirectement dans le calcul de l’aire d’un polygone régulier, que l’on peut décomposer en triangles à partir de son centre plutôt que par ses diagonales.
Exemple : hexagone (6 côtés)
Données d'entrée
Nombre de côtés : 6.
Calcul
D = 6 × (6 − 3) ÷ 2 = 6 × 3 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9.
Résultat
Un hexagone possède 9 diagonales.
Questions fréquentes
Pourquoi un triangle n’a-t-il aucune diagonale ?
Parce qu’un triangle n’a que trois sommets, et que chaque paire de sommets est déjà reliée par un côté du triangle — il n’existe donc aucune paire de sommets non adjacents à relier par une diagonale. C’est le plus petit polygone possible, et le seul dont toutes les paires de sommets sont des côtés.
Cette formule s’applique-t-elle aussi aux polygones non convexes (avec des creux) ?
Le décompte du nombre de segments reliant des sommets non adjacents reste identique, que le polygone soit convexe ou non : la formule D = n(n−3)/2 compte bien toutes ces diagonales. La différence apparaît seulement pour certains usages géométriques de ces diagonales (comme la triangulation) : dans un polygone non convexe, certaines diagonales peuvent passer à l’extérieur de la forme, ce qui n’arrive jamais dans un polygone convexe.
Comment le nombre de diagonales évolue-t-il par rapport au nombre de côtés ?
Il croît de façon quadratique, beaucoup plus vite que le nombre de côtés lui-même : doubler le nombre de côtés d’un polygone multiplie approximativement par quatre son nombre de diagonales pour de grands polygones, puisque la formule contient un terme en n². Un polygone à 100 côtés compte ainsi 4 850 diagonales, pour seulement 100 côtés.