Calculateur de rayon de Bohr
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 28/08/2026
Le rayon d'une orbite de Bohr se calcule par r = a0 × n² ÷ Z, où a0≈52,92 pm est le rayon de Bohr, n le nombre quantique principal et Z le numéro atomique. Pour l'état fondamental de l'hydrogène (n=1, Z=1), r vaut exactement a0 ; pour le premier état excité (n=2), le rayon quadruple à environ 211,67 pm.
Explication
Dans le modèle de Bohr, l'électron d'un atome hydrogénoïde (un atome ou ion à un seul électron : l'hydrogène, mais aussi He⁺, Li²⁺, etc.) n'orbite qu'à des distances bien précises et quantifiées autour du noyau, indexées par le nombre quantique principal n. Le rayon de ces orbites croît comme le carré de n : l'orbite n=2 a un rayon quatre fois plus grand que l'orbite fondamentale n=1, l'orbite n=3 un rayon neuf fois plus grand, et ainsi de suite — c'est cette croissance rapide qui explique pourquoi les atomes excités à un nombre quantique élevé (les atomes dits « de Rydberg », étudiés en laboratoire) peuvent atteindre des tailles considérables, parfois comparables à celles de bactéries. Le numéro atomique Z joue le rôle inverse : plus la charge du noyau est élevée, plus elle attire fortement l'unique électron, ce qui réduit le rayon de l'orbite proportionnellement à Z — c'est pourquoi l'ion He⁺ (Z=2), qui n'a lui aussi qu'un seul électron, a un rayon fondamental deux fois plus petit que celui de l'hydrogène. Ce calculateur complète directement le calculateur des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène déjà publié sur ce site : les deux décrivent la même orbite de Bohr, l'un donnant sa taille géométrique, l'autre l'énergie de l'électron qui s'y trouve — et tous deux partagent la même dépendance fondamentale au nombre quantique principal n, la clé de voûte du modèle de Bohr.
Exemple : comparer l’hydrogène et l’ion hélium He⁺
Données d'entrée
État fondamental (n=1) de l’hydrogène (Z=1) comparé à celui de l’ion He⁺ (Z=2).
Calcul
Hydrogène : r = a0 × 1² ÷ 1 = a0 ≈ 52,92 pm. He⁺ : r = a0 × 1² ÷ 2 ≈ 26,46 pm.
Résultat
L’électron de l’ion He⁺ orbite exactement deux fois plus près de son noyau que celui de l’hydrogène, une conséquence directe de la charge nucléaire doublée qui l’attire plus fortement.
Questions fréquentes
Le modèle de Bohr est-il physiquement exact ?
Non, le modèle de Bohr (des électrons en orbites circulaires bien définies, comme des planètes autour d'un soleil) a été supplanté par la mécanique quantique moderne, où l'électron est décrit par une fonction d'onde et une probabilité de présence plutôt que par une trajectoire précise. Le modèle de Bohr reste néanmoins remarquablement utile en pédagogie et donne, par un heureux hasard mathématique propre aux atomes hydrogénoïdes à un seul électron, des valeurs de rayon et d'énergie identiques à celles obtenues par le traitement quantique rigoureux.
Pourquoi le rayon croît-il aussi vite avec n (en n²) ?
Cette dépendance en n² se déduit directement de la condition de quantification du moment cinétique posée par Bohr, combinée à l'équilibre entre force centripète et attraction coulombienne. Concrètement, elle signifie qu'un atome excité à un niveau élevé occupe un volume disproportionnellement plus grand qu'à l'état fondamental : un atome d'hydrogène excité à n=10 a un rayon cent fois plus grand qu'à l'état fondamental — et c'est justement la transition entre deux niveaux aussi éloignés que calcule le calculateur de la formule de Rydberg déjà publié sur ce site.
Ce calculateur fonctionne-t-il pour des atomes à plusieurs électrons, comme le carbone ou l’oxygène ?
Non, la formule n'est valable que pour les atomes ou ions HYDROGÉNOÏDES, c'est-à-dire ne possédant qu'un seul électron autour du noyau (l'hydrogène neutre, ou des ions fortement épluchés comme He⁺, Li²⁺, Be³⁺...). Dès qu'un atome possède plusieurs électrons, les interactions électron-électron (répulsion mutuelle, écrantage de la charge nucléaire) compliquent considérablement le problème, et cette formule simple ne s'applique plus directement.