Calculateur du puits de potentiel infini (particule dans une boîte)
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 28/08/2026
L'énergie d'une particule confinée dans un puits de potentiel infini se calcule avec E(n) = n²h² ÷ (8mL²). Pour un électron confiné dans une boîte d'un nanomètre (échelle atomique), l'énergie du niveau fondamental (n=1) vaut environ 0,376 eV — un exemple classique de quantification de l'énergie par confinement spatial.
Explication
Le puits de potentiel infini, aussi appelé modèle de la « particule dans une boîte », est l'un des tout premiers systèmes que les étudiants résolvent exactement en mécanique quantique, précisément parce qu'il illustre de la façon la plus simple possible comment le CONFINEMENT spatial d'une particule quantifie automatiquement son énergie. Une particule enfermée entre deux parois infranchissables ne peut adopter, selon l'hypothèse de De Broglie déjà publiée, que des ondes stationnaires dont un nombre entier de demi-longueurs d'onde s'inscrit exactement entre les deux parois — exactement le même principe physique que les modes de vibration d'une corde de guitare fixée à ses deux extrémités. Cette contrainte géométrique impose que l'énergie de la particule ne puisse prendre que des valeurs discrètes E(n), proportionnelles au carré du nombre quantique n : le spectre d'énergie de ce système croît donc beaucoup plus rapidement (en n²) que celui de l'atome d'hydrogène déjà publié (qui décroît en 1/n²), une différence qui illustre bien à quel point la forme précise du potentiel de confinement détermine la structure des niveaux d'énergie. Ce modèle simplifié, bien qu'il ne corresponde à aucun système physique parfaitement réel (aucune paroi n'est véritablement infranchissable), reste une excellente approximation pour de nombreux systèmes de confinement quantique réels, notamment les boîtes quantiques utilisées en nanotechnologie, où des électrons sont effectivement piégés dans des structures semi-conductrices de dimension nanométrique, avec des niveaux d'énergie observables expérimentalement et ajustables en faisant simplement varier la taille de la structure.
Exemple : électron confiné dans une boîte d’un nanomètre
Données d'entrée
Nombre quantique : n=1. Masse : 9,109×10⁻³¹ kg (électron). Largeur de la boîte : 1 nm (10⁻⁹ m).
Calcul
E = 1² × (6,626×10⁻³⁴)² ÷ (8 × 9,109×10⁻³¹ × (10⁻⁹)²) ≈ 6,02×10⁻²⁰ J ≈ 0,376 eV.
Résultat
L’énergie du niveau fondamental de cet électron confiné vaut environ 0,376 eV — un ordre de grandeur typique pour le confinement quantique à l’échelle du nanomètre.
Questions fréquentes
Pourquoi l’énergie augmente-t-elle quand la boîte devient plus étroite ?
Parce qu'une boîte plus étroite impose une longueur d'onde de De Broglie plus courte pour la particule (la demi-longueur d'onde du mode fondamental doit tenir dans un espace plus restreint), ce qui, selon la relation λ=h/(mv), correspond nécessairement à une vitesse — et donc une énergie cinétique — plus élevée. Ce phénomène est une manifestation directe du principe d'incertitude de Heisenberg : plus la position d'une particule est confinée avec précision, plus l'incertitude sur sa quantité de mouvement (et donc son énergie minimale) augmente mécaniquement.
Pourquoi le nombre quantique n ne peut-il jamais être nul ?
Parce que n=0 correspondrait à une fonction d'onde identiquement nulle partout dans la boîte, ce qui signifierait qu'aucune particule n'y est présente du tout — un résultat physiquement absurde pour une particule que l'on suppose confinée. Le niveau d'énergie minimal possible pour une particule effectivement présente dans la boîte est donc toujours n=1, une énergie non nulle appelée « énergie du point zéro », une conséquence incontournable de la mécanique quantique qui n'a aucun équivalent en physique classique.
Ce modèle s’applique-t-il à des situations réelles au-delà d’un exercice théorique ?
Oui, notamment aux boîtes quantiques (quantum dots), des nanostructures semi-conductrices artificielles dans lesquelles des électrons sont physiquement piégés dans un volume de quelques nanomètres. Leurs niveaux d'énergie, ajustables en contrôlant précisément la taille de la structure lors de sa fabrication, suivent une logique très proche de celle du puits de potentiel infini, et sont exploités commercialement dans certains écrans à points quantiques (QLED) pour produire des couleurs très pures.