Calculateur de conversion coordonnées sphériques ↔ cartésiennes
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 24/08/2026
Pour convertir des coordonnées cartésiennes en sphériques : r = √(x²+y²+z²), θ = acos(z÷r), φ = atan2(y, x). Le point (3, 4, 12) en cartésien correspond à environ (13, 22,62°, 53,13°) en sphérique.
Explication
Les coordonnées sphériques étendent en trois dimensions le principe des coordonnées polaires, déjà disponibles en 2D sur ce site : au lieu de repérer un point uniquement par une distance et un angle, il faut ici une distance r (depuis l'origine) et DEUX angles pour situer complètement un point dans l'espace. L'angle θ (thêta), dit angle polaire, mesure l'inclinaison du point par rapport à l'axe vertical +z (0° au pôle nord, 90° sur le plan équatorial, 180° au pôle sud) ; l'angle φ (phi), dit angle azimutal, mesure la rotation autour de cet axe dans le plan horizontal xy, exactement comme l'angle polaire 2D. Cette convention, dite physique ou ISO, est la plus répandue en physique et en ingénierie ; à noter qu'une convention mathématique alternative existe, où les rôles de θ et φ sont parfois inversés — toujours vérifier la convention utilisée dans votre contexte avant de comparer des résultats entre plusieurs sources. Les coordonnées sphériques trouvent une application directe partout où un phénomène rayonne ou varie principalement en fonction de la distance à un point central : la géolocalisation (latitude et longitude sont conceptuellement proches de θ et φ, appliqués à la surface d'une sphère de rayon fixe, celui de la Terre), le rayonnement d'une antenne, le potentiel gravitationnel ou électrique autour d'une masse ou d'une charge ponctuelle, ou encore la description des orbitales atomiques en mécanique quantique.
Exemple : convertir le point cartésien (3, 4, 12) en sphérique
Données d'entrée
x = 3. y = 4. z = 12.
Calcul
r = √(3² + 4² + 12²) = √(9+16+144) = √169 = 13. θ = acos(12 ÷ 13) ≈ 22,62°. φ = atan2(4, 3) ≈ 53,13°.
Résultat
Ce point cartésien correspond aux coordonnées sphériques (13, 22,62°, 53,13°).
Questions fréquentes
Pourquoi utiliser atan2(y, x) plutôt qu’un simple arctan(y/x) pour calculer φ ?
Parce que arctan(y÷x) seul ne peut pas distinguer un point situé dans le premier quadrant d'un point situé dans le quadrant opposé (x et y tous deux de signe inversé), les deux donnant le même rapport y÷x. La fonction atan2, qui prend x et y séparément plutôt que leur seul rapport, résout cette ambiguïté en tenant compte du signe de chaque coordonnée pour placer l'angle dans le bon quadrant, sur toute la plage de 0° à 360°.
Que se passe-t-il si le point se trouve exactement sur l’axe z ?
Sur l'axe +z (θ = 0°) ou l'axe −z (θ = 180°), les coordonnées x et y valent toutes deux zéro, quel que soit l'angle φ choisi — cet angle devient alors indéfini, puisque tourner autour de l'axe z ne change rien à la position d'un point qui se trouve précisément SUR cet axe. C'est un cas particulier normal des coordonnées sphériques, illustré par le troisième cas de test de ce calculateur.
Cette convention est-elle universelle ?
Non, c'est un point de vigilance réel : la convention dite « physique » utilisée ici (θ = angle polaire depuis l'axe z, φ = angle azimutal) est standard en physique et en ingénierie, mais certains ouvrages de mathématiques inversent les rôles de θ et φ, ou mesurent l'angle polaire depuis le plan équatorial plutôt que depuis le pôle (comme le fait la latitude géographique). Toujours vérifier la convention adoptée par votre source avant de comparer des angles sphériques entre deux documents différents — la distance r elle-même, en revanche, reste toujours la norme du vecteur reliant l'origine au point, quelle que soit la convention angulaire choisie.