Calculateur de norme d’un vecteur 3D
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 18/08/2026
La norme d’un vecteur 3D de composantes (x, y, z) se calcule avec ‖v‖ = √(x²+y²+z²), la généralisation directe du théorème de Pythagore à trois dimensions. Pour le vecteur (2, 3, 6), la norme vaut exactement 7.
Explication
La norme d’un vecteur mesure sa longueur géométrique, indépendamment de sa direction. En trois dimensions, elle s’obtient en appliquant deux fois le théorème de Pythagore : une première fois pour trouver la longueur de la projection du vecteur dans le plan xy (√(x²+y²)), puis une seconde fois en combinant cette longueur intermédiaire avec la composante z pour obtenir la longueur réelle dans l’espace — ce qui revient, une fois les deux étapes combinées, à la formule directe √(x²+y²+z²). Cette grandeur intervient dans de très nombreux calculs vectoriels : elle sert par exemple de dénominateur dans le calcul de l’angle entre deux vecteurs à partir du produit scalaire (θ = arccos(u·v ÷ (‖u‖×‖v‖))), et elle mesure directement la distance entre deux points de l’espace si l’on prend pour composantes du vecteur la différence de leurs coordonnées. En physique, la norme d’un vecteur vitesse ou d’un vecteur force donne la valeur scalaire de cette grandeur (la vitesse « en km/h », la force « en newtons ») indépendamment de sa direction dans l’espace.
Exemple : norme du vecteur (2, 3, 6)
Données d'entrée
Vecteur v = (2, 3, 6).
Calcul
‖v‖ = √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.
Résultat
La norme de ce vecteur vaut exactement 7.
Questions fréquentes
La norme peut-elle être négative ?
Non, jamais : la norme est une racine carrée d’une somme de carrés, donc toujours positive ou nulle, quelles que soient les valeurs (positives ou négatives) des composantes x, y et z du vecteur. Seul le vecteur nul (0,0,0) a une norme exactement égale à 0.
Quelle est la différence entre la norme d’un vecteur et sa longueur ?
Aucune : ce sont deux noms pour la même grandeur. « Norme » est le terme préféré en algèbre linéaire (il se généralise à des espaces où l’intuition géométrique de « longueur » est moins directe), tandis que « longueur » ou « magnitude » sont plus courants en physique et en usage familier, mais la formule et le résultat sont identiques.
Comment calculer la norme d’un vecteur en seulement deux dimensions ?
La même formule s’applique en supprimant simplement la composante z : ‖v‖ = √(x²+y²), le théorème de Pythagore appliqué une seule fois dans le plan. C’est un cas particulier de la formule 3D lorsque z = 0.