Calculateur de loi de Rayleigh
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 29/08/2026
La loi de Rayleigh a pour densité f(x) = (x/σ²) × exp(−x²/(2σ²)) et pour fonction de répartition F(x) = 1 − exp(−x²/(2σ²)), avec σ le paramètre d'échelle et x≥0. Elle décrit typiquement la norme d'un vecteur à deux composantes gaussiennes indépendantes, comme la vitesse du vent horizontal ou l'amplitude d'un signal radio soumis à un bruit gaussien.
Explication
La loi de Rayleigh apparaît naturellement chaque fois qu'on s'intéresse à la MAGNITUDE (la norme) d'un vecteur à deux dimensions dont chaque composante suit indépendamment une loi normale centrée de même variance : c'est exactement le cas de la vitesse du vent horizontal (résultante d'une composante Nord-Sud et d'une composante Est-Ouest, chacune approximativement gaussienne), ou de l'amplitude d'un signal radio qui traverse un environnement urbain complexe où de multiples réflexions produisent un bruit gaussien sur ses deux composantes en phase et en quadrature — un phénomène connu en télécommunications sous le nom de « fading de Rayleigh », qui explique pourquoi la réception d'un signal mobile fluctue de façon caractéristique en se déplaçant. Cette distribution est en réalité un cas particulier de la loi de Weibull déjà publiée sur ce site : en fixant le paramètre de forme de la loi de Weibull à exactement k=2 et son paramètre d'échelle à λ=σ√2, on retrouve exactement la loi de Rayleigh — une relation vérifiée numériquement avec un accord parfait entre les deux calculateurs. Le paramètre σ de la loi de Rayleigh correspond d'ailleurs au MODE de la distribution (la valeur la plus probable), une propriété qui la distingue de nombreuses autres lois où le paramètre d'échelle ne coïncide pas directement avec un point remarquable aussi simple à interpréter.
Exemple : au mode de la distribution
Données d'entrée
Valeur x = 2. Paramètre d’échelle σ = 2 (donc x=σ, exactement au mode).
Calcul
f(2) = (2÷4) × exp(−4÷8) = 0,5 × exp(−0,5) ≈ 0,5 × 0,6065 ≈ 0,3033. F(2) = 1 − exp(−0,5) ≈ 1 − 0,6065 ≈ 0,3935.
Résultat
Au point x=σ, la densité atteint sa valeur maximale (≈0,3033) et environ 39,3 % de la masse de probabilité se trouve déjà en dessous de cette valeur.
Questions fréquentes
Pourquoi la vitesse du vent suit-elle approximativement une loi de Rayleigh ?
La vitesse du vent horizontal résulte de deux composantes indépendantes (généralement modélisées comme approximativement gaussiennes et centrées) : une composante Nord-Sud et une composante Est-Ouest. La norme de ce vecteur vitesse (ce qu'on mesure réellement avec un anémomètre, indépendamment de la direction) suit alors naturellement une loi de Rayleigh — un modèle largement utilisé en météorologie et dans l'évaluation du potentiel éolien d'un site, bien qu'une loi de Weibull à deux paramètres (plus flexible) soit parfois préférée pour un ajustement plus précis aux données réelles.
Pourquoi le paramètre σ correspond-il exactement au mode de la distribution ?
C'est une propriété mathématique remarquable de cette loi précise, qui se démontre en cherchant où la dérivée de la densité s'annule : cette recherche donne directement x=σ comme unique solution positive. Cela signifie concrètement que si vous mesurez le paramètre σ d'une distribution de Rayleigh, vous connaissez immédiatement la valeur la plus fréquemment observée, sans calcul supplémentaire — un avantage pratique notable par rapport à des distributions où le lien entre paramètres et points remarquables (mode, médiane, moyenne) est moins direct.
Quelle est la différence avec la loi de Weibull, dont c’est un cas particulier ?
La loi de Weibull possède deux paramètres indépendants (forme k et échelle λ), ce qui la rend beaucoup plus flexible pour ajuster des données réelles ; la loi de Rayleigh est le cas particulier où k est figé à exactement 2, ne laissant plus qu'un seul paramètre d'échelle σ à ajuster. En pratique, on utilise la loi de Rayleigh quand la théorie sous-jacente (norme de deux composantes gaussiennes indépendantes) justifie précisément cette valeur k=2, et la loi de Weibull complète quand on préfère laisser les données déterminer librement la forme de la distribution.