Calculateur de coefficient d'aplatissement (kurtosis)
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 18/08/2026
Le coefficient d'aplatissement en excès se calcule avec g₂ = m₄ ÷ m₂² − 3, le rapport entre le quatrième et le carré du deuxième moment centré, moins 3. Pour la distribution 0, 0, 0, 0, 5 (très pointue, avec une queue lourde), g₂ vaut exactement 0,25 : un peu plus « pointue » qu'une loi normale.
Explication
Le coefficient d'aplatissement complète le coefficient d'asymétrie : là où l'asymétrie révèle si une distribution penche vers la gauche ou vers la droite, le kurtosis révèle plutôt la forme de son « pic » central et le poids de ses queues (les valeurs extrêmes, éloignées de la moyenne). Le « −3 » dans la formule n'est pas arbitraire : il fixe la référence sur une loi normale, dont le kurtosis en excès théorique vaut exactement 0. Un kurtosis en excès positif (une distribution dite leptokurtique) signale une distribution plus pointue au centre qu'une loi normale, avec des queues plus lourdes — davantage de valeurs très proches de la moyenne, mais aussi davantage de valeurs très éloignées, au détriment des valeurs intermédiaires. Un kurtosis en excès négatif (une distribution dite platykurtique) signale l'inverse : un profil plus aplati, plus proche d'une distribution uniforme comme (1, 2, 3, 4, 5), dont le kurtosis en excès vaut ici exactement −1,3. Ce contraste entre les deux exemples illustre bien la mesure : les cinq valeurs uniformément réparties (1 à 5) produisent une forme plate sans pic ni queue marquée, tandis que la distribution concentrée à 0 avec une seule valeur isolée à 5 crée à la fois un pic pointu (quatre valeurs identiques) et une queue lourde (la valeur isolée) — exactement le profil qu'un kurtosis positif est censé détecter. En pratique, un kurtosis en excès très élevé signale souvent la présence de valeurs aberrantes qui méritent d'être examinées avant d'appliquer un test statistique supposant la normalité des données, comme un intervalle de confiance classique.
Exemple : la distribution 0, 0, 0, 0, 5
Données d'entrée
Valeurs : 0, 0, 0, 0, 5.
Calcul
Moyenne = (0+0+0+0+5) ÷ 5 = 1. m₂ = moyenne des (xᵢ−1)² = (1+1+1+1+16) ÷ 5 = 4. m₄ = moyenne des (xᵢ−1)⁴ = (1+1+1+1+256) ÷ 5 = 52. g₂ = 52 ÷ 4² − 3 = 52 ÷ 16 − 3 = 3,25 − 3 = 0,25.
Résultat
Cette distribution a un coefficient d'aplatissement en excès de 0,25, légèrement supérieur à celui d'une loi normale (0), cohérent avec sa forme pointue et sa queue lourde.
Questions fréquentes
Que signifie un kurtosis en excès égal à zéro ?
Un kurtosis en excès de 0 correspond exactement à celui d'une loi normale théorique, la référence utilisée par cette formule (le « −3 » de la formule sert justement à recentrer l'échelle sur cette référence). Ce n'est pas pour autant une preuve que les données suivent effectivement une loi normale : d'autres distributions symétriques et non normales peuvent aussi présenter un kurtosis proche de 0, exactement comme un coefficient d'asymétrie proche de 0 n'est pas non plus une preuve suffisante à lui seul.
Quelle est la différence entre asymétrie et aplatissement ?
L'asymétrie (skewness, le 3ᵉ moment) mesure si une distribution est déséquilibrée vers la gauche ou vers la droite ; l'aplatissement (kurtosis, le 4ᵉ moment) mesure plutôt la forme du pic central et le poids des valeurs extrêmes, indépendamment de tout déséquilibre gauche-droite. Une distribution parfaitement symétrique peut très bien avoir un kurtosis très différent de 0, comme le montrent les deux exemples de cette page.
Pourquoi ce calculateur exige-t-il au moins 4 valeurs ?
Parce que le kurtosis repose sur le quatrième moment centré (m₄), une grandeur qui perd toute signification statistique en dessous de 4 valeurs — contrairement à l'asymétrie, qui reste calculable, bien que peu fiable, à partir de 3 valeurs seulement. Ce minimum de 4 valeurs reste de toute façon très insuffisant pour une estimation fiable en pratique : le kurtosis est une mesure sensible, généralement peu significative sur de très petits échantillons.