Calculateur de produit vectoriel (3D)
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 18/08/2026
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v se calcule composante par composante : (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). Le produit vectoriel de (2,3,4) et (5,6,7) donne ainsi le vecteur (−3, 6, −3).
Explication
Contrairement au produit scalaire, qui donne un simple nombre, le produit vectoriel de deux vecteurs 3D produit un troisième vecteur : perpendiculaire aux deux vecteurs de départ, dont la norme correspond à l'aire du parallélogramme qu'ils forment, et dont le sens suit la règle de la main droite (ou règle du tire-bouchon). Cette opération n'existe que pour des vecteurs à 3 dimensions (ou 7, un cas beaucoup plus rare) — il n'y a pas d'équivalent direct en 2D, où c'est plutôt le déterminant qui joue un rôle analogue pour mesurer une aire signée. Le produit vectoriel est utilisé en physique pour calculer un moment de force (couple), la force de Lorentz sur une charge en mouvement dans un champ magnétique, ou en infographie 3D pour déterminer la normale à une surface à partir de deux vecteurs contenus dans cette surface. Une propriété importante à connaître : contrairement à la multiplication classique, le produit vectoriel n'est pas commutatif — inverser l'ordre des deux vecteurs inverse le signe du résultat (u×v = −(v×u)).
Exemple : produit vectoriel de (2,3,4) et (5,6,7)
Données d'entrée
Vecteur u = (2, 3, 4). Vecteur v = (5, 6, 7).
Calcul
x = 3×7 − 4×6 = 21 − 24 = −3. y = 4×5 − 2×7 = 20 − 14 = 6. z = 2×6 − 3×5 = 12 − 15 = −3.
Résultat
Le produit vectoriel de ces deux vecteurs est (−3, 6, −3).
Questions fréquentes
Pourquoi le résultat est-il perpendiculaire aux deux vecteurs de départ ?
C'est une propriété qui découle directement de la définition du produit vectoriel : on peut vérifier que le produit scalaire du résultat avec u, et séparément avec v, donne toujours zéro — la définition même de la perpendicularité entre deux vecteurs. C'est cette propriété qui rend le produit vectoriel utile pour trouver une normale à un plan.
Que se passe-t-il si les deux vecteurs sont parallèles ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles (ou colinéaires) est toujours le vecteur nul (0, 0, 0), car l'aire du parallélogramme qu'ils formeraient est nulle — deux vecteurs alignés ne délimitent aucune surface. C'est un test rapide et couramment utilisé pour vérifier si deux vecteurs sont colinéaires.
L’ordre des vecteurs a-t-il une importance ?
Oui, contrairement au produit scalaire (commutatif), le produit vectoriel ne l'est pas : u×v et v×u ont la même norme mais un sens opposé (u×v = −v×u). Inverser l'ordre des deux vecteurs dans le formulaire inverse donc le signe des trois composantes du résultat.