Calculateur de déterminant de matrice 3×3
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 22/08/2026
Le déterminant d'une matrice 3×3 se calcule par la règle de Sarrus : det = a(ei−fh) − b(di−fg) + c(dh−eg). Pour la matrice [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]], le déterminant vaut 1.
Explication
Le déterminant d'une matrice carrée est un nombre unique qui résume plusieurs propriétés géométriques et algébriques essentielles de cette matrice : il indique notamment si le système d'équations linéaires associé admet une solution unique (déterminant non nul) ou non (déterminant nul, comme dans notre calculateur de déterminant de matrice 2×2 pour le cas plus simple à deux dimensions), et sa valeur absolue correspond au volume du parallélépipède formé par les trois vecteurs-lignes (ou colonnes) de la matrice. Pour une matrice 3×3, la méthode la plus directe est le développement selon la première ligne, souvent appelé règle de Sarrus dans son cas particulier 3×3 : chaque coefficient de la première ligne est multiplié par le déterminant 2×2 obtenu en supprimant sa ligne et sa colonne, avec une alternance de signes (+, −, +). Un déterminant nul signale une matrice singulière, c'est-à-dire non inversible : ses trois lignes (ou colonnes) sont linéairement dépendantes, comme le montre le troisième cas de test de ce calculateur, où chaque ligne est décalée de la même progression arithmétique par rapport à la précédente — les trois vecteurs sont alors coplanaires, d'où un volume, donc un déterminant, nul. Cette notion de déterminant est au cœur de la méthode de Cramer pour résoudre un système d'équations linéaires (voir notre calculateur de système d'équations linéaires à 2 inconnues pour le cas 2×2, où le principe est identique en plus simple), et sert aussi à calculer l'inverse d'une matrice, qui n'existe que si le déterminant est non nul.
Exemple : matrice [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]
Données d'entrée
a=1, b=2, c=3, d=0, e=1, f=4, g=5, h=6, i=0.
Calcul
det = 1×(1×0 − 4×6) − 2×(0×0 − 4×5) + 3×(0×6 − 1×5) = 1×(−24) − 2×(−20) + 3×(−5) = −24 + 40 − 15 = 1.
Résultat
Le déterminant de cette matrice vaut 1 : elle est inversible, et le système linéaire associé admet une solution unique.
Questions fréquentes
Que signifie concrètement un déterminant nul ?
Un déterminant nul signifie que la matrice n'est pas inversible : ses lignes (ou colonnes) sont linéairement dépendantes, c'est-à-dire que l'une peut s'exprimer comme une combinaison des autres. Géométriquement, les trois vecteurs de la matrice sont alors coplanaires (ils ne « remplissent » pas un espace à trois dimensions), et le système d'équations linéaires associé n'a soit aucune solution, soit une infinité — jamais une solution unique.
Pourquoi les signes alternent-ils (+, −, +) dans la formule ?
Cette alternance de signes fait partie de la définition du développement d'un déterminant selon une ligne ou une colonne (le cofacteur de chaque terme). Elle garantit que la formule reste cohérente avec les propriétés fondamentales du déterminant, notamment le fait qu'échanger deux lignes d'une matrice change le signe de son déterminant — une propriété qui ne serait pas respectée avec des signes tous positifs.
Cette formule fonctionne-t-elle pour des matrices plus grandes (4×4 et au-delà) ?
Le principe du développement par cofacteurs se généralise à n'importe quelle taille de matrice carrée, mais son coût de calcul augmente très rapidement (factoriellement) avec la taille — ce qui le rend impraticable à la main au-delà de 3×3 ou 4×4. Les logiciels de calcul utilisent alors des méthodes plus efficaces, comme l'élimination de Gauss, pour calculer le déterminant de grandes matrices.