Calculateur de loi de Cauchy
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 28/08/2026
La loi de Cauchy a pour densité f(x) = 1 ÷ (πγ(1+((x−x0)/γ)²)), où x0 est le paramètre de position et γ le paramètre d'échelle. Fait remarquable : contrairement à presque toutes les autres distributions statistiques, ni son espérance ni sa variance ne sont mathématiquement définies, bien qu'elle possède une médiane parfaitement définie, égale à x0.
Explication
La loi de Cauchy ressemble visuellement à une courbe en cloche, comme la loi normale déjà largement représentée sur ce site, mais avec des « queues » — les extrémités de la distribution, loin du centre — beaucoup plus épaisses : les valeurs extrêmes y restent significativement plus probables que pour une loi normale de même largeur apparente. Cette différence a une conséquence mathématique spectaculaire et souvent citée comme cas d'école : l'intégrale qui définirait l'espérance de cette loi ne converge PAS (elle diverge à l'infini dans les deux directions), ce qui signifie que la loi de Cauchy n'a tout simplement PAS de moyenne mathématiquement définie — et par extension, pas de variance non plus. C'est un résultat qui surprend souvent en première approche : on pourrait naïvement s'attendre à ce que la moyenne d'un grand nombre d'observations tirées selon cette loi se stabilise progressivement autour d'une valeur centrale, comme le prédit la loi des grands nombres pour la plupart des distributions usuelles — mais pour la loi de Cauchy, cette moyenne empirique ne converge jamais et continue de fluctuer de façon erratique, aussi grand que soit le nombre d'observations. La loi de Cauchy possède néanmoins une MÉDIANE parfaitement bien définie, égale exactement au paramètre de position x0 : la moitié de la masse de probabilité se trouve de chaque côté de ce point, une propriété qui illustre bien que médiane et espérance, souvent confondues intuitivement, sont deux notions statistiques distinctes qui ne coïncident pas toujours. Cette distribution apparaît naturellement en physique (elle décrit par exemple la forme des raies spectrales élargies par collision, où elle porte le nom de loi de Lorentz) et sert en statistique de contre-exemple pédagogique de référence pour illustrer les limites du théorème central limite et de la loi des grands nombres. Elle rejoint ainsi, sur ce site, d'autres distributions notées pour leurs queues épaisses ou leur comportement atypique, comme le calculateur de loi log-normale ou le calculateur de loi de Pareto, qui décrit lui aussi des phénomènes où les valeurs extrêmes pèsent bien plus lourd que ce qu'une loi normale laisserait prévoir.
Exemple : densité et répartition au point de position
Données d'entrée
Valeur x = 0. Paramètre de position x₀ = 0. Paramètre d’échelle γ = 1.
Calcul
f(0) = 1 ÷ (π×1×(1+0²)) = 1/π ≈ 0,3183. F(0) = (1/π)×arctan(0) + 0,5 = 0 + 0,5 = 0,5.
Résultat
Au point de position, la densité atteint son maximum (≈0,3183) et la fonction de répartition vaut exactement 0,5 : x₀ est bien la médiane de la distribution.
Questions fréquentes
Pourquoi l’espérance de la loi de Cauchy n’est-elle pas simplement égale à x₀ par symétrie ?
La distribution est effectivement parfaitement symétrique autour de x0, ce qui pourrait suggérer que son espérance devrait valoir x0 par simple argument de symétrie. Mais la définition mathématique de l'espérance exige que l'intégrale ∫x×f(x)dx converge vers une valeur FINIE, ce qui n'est pas le cas ici : les deux moitiés de cette intégrale (de x0 à +∞ et de −∞ à x0) divergent chacune vers l'infini, et leur différence formelle (+∞ moins ∞) n'est mathématiquement pas définie, même si elle « devrait » intuitivement s'annuler par symétrie. C'est un piège classique qui illustre pourquoi la convergence d'une intégrale doit être vérifiée rigoureusement, pas seulement supposée à partir d'arguments de symétrie.
Le paramètre γ correspond-il à l’écart-type de la distribution ?
Non, et c'est une confusion fréquente : puisque la variance de la loi de Cauchy n'est pas définie, γ ne peut PAS être interprété comme un écart-type au sens usuel. Il s'agit plutôt d'un paramètre d'échelle géométrique, correspondant précisément à la distance entre x0 et le point où la densité tombe exactement à la moitié de sa valeur maximale (la demi-largeur à mi-hauteur) — une mesure de dispersion différente, qui reste bien définie même quand l'écart-type classique ne l'est pas.
Dans quel contexte physique cette loi apparaît-elle naturellement ?
Sous le nom de loi de Lorentz, elle décrit le profil des raies spectrales d'émission ou d'absorption élargies par des collisions entre atomes ou molécules (l'élargissement collisionnel, un mécanisme distinct de l'élargissement Doppler qui produit plutôt un profil gaussien). Elle apparaît aussi comme la distribution du rapport de deux variables aléatoires suivant chacune une loi normale centrée, un résultat mathématique qui explique en partie pourquoi ses queues sont si lourdes comparées à celles d'une loi normale simple.