Calculateur de l’équation vis-viva
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 28/08/2026
L'équation vis-viva donne v = √(GM×(2/r − 1/a)), où r est la distance actuelle au centre de l'astre et a le demi-grand axe de l'orbite. Elle généralise à toute orbite elliptique les formules de vitesse orbitale circulaire (cas a=r) et de vitesse de libération (cas a→∞) déjà disponibles sur ce site.
Explication
Contrairement à une orbite circulaire, où la vitesse reste constante en tout point, un corps sur une orbite elliptique change continuellement de vitesse : il va plus vite près du périgée (le point le plus proche de l'astre central) et plus lentement près de l'apogée (le point le plus éloigné), une conséquence directe de la conservation de l'énergie mécanique totale de l'orbite. L'équation vis-viva capture exactement cette variation en un seul calcul, à partir de deux distances seulement : la distance actuelle r et le demi-grand axe a de l'ellipse (la moyenne entre le rayon au périgée et le rayon à l'apogée). Cette formule est remarquablement générale : en posant a=r, elle se réduit exactement à la formule du calculateur de vitesse orbitale circulaire ; et en laissant a devenir infiniment grand (une orbite qui ne se referme jamais), elle tend vers la vitesse calculée par le calculateur de vitesse de libération — l'équation vis-viva n'est donc pas une troisième formule indépendante, mais le cadre unique qui contient les deux autres comme cas particuliers. Elle est utilisée quotidiennement en mécanique spatiale pour planifier les manœuvres orbitales, notamment les transferts de Hohmann (la trajectoire elliptique la plus économe en carburant pour passer d'une orbite basse à une orbite plus haute, comme l'orbite géostationnaire), où elle permet de calculer précisément la vitesse nécessaire au périgée et à l'apogée de l'ellipse de transfert.
Exemple : transfert de Hohmann d’une orbite basse vers l’orbite géostationnaire
Données d'entrée
Masse de la Terre ≈ 5,972×10²⁴ kg. Périgée à 6 671 km du centre (≈ 300 km d’altitude). Apogée à 42 164 km du centre (orbite géostationnaire). Demi-grand axe a = (6 671 + 42 164) ÷ 2 = 24 417,5 km.
Calcul
Au périgée (r=6 671 km) : v = √(GM×(2/6 671 000 − 1/24 417 500)) ≈ 10 157,52 m/s. À l’apogée (r=42 164 km), le même a mais un r bien plus grand donne une vitesse bien plus faible : ≈ 1 607,08 m/s.
Résultat
Le satellite doit voyager à environ 10,16 km/s en quittant son orbite basse, puis ne sera plus qu’à environ 1,61 km/s en arrivant près de l’orbite géostationnaire — c’est cette chute de vitesse qui illustre concrètement la conservation de l’énergie sur une orbite elliptique.
Questions fréquentes
Pourquoi la vitesse diminue-t-elle autant entre le périgée et l’apogée ?
L'énergie mécanique totale du satellite (cinétique + potentielle gravitationnelle) reste constante tout au long de l'orbite elliptique. Près du périgée, le satellite est proche de l'astre (énergie potentielle très négative), ce qui autorise une énergie cinétique — donc une vitesse — élevée ; près de l'apogée, il s'est éloigné (l'énergie potentielle a augmenté, donc est moins négative), et l'énergie cinétique disponible diminue d'autant, ce qui ralentit le satellite. C'est exactement la même logique physique qu'une balle lancée en l'air : elle ralentit en montant et accélère en retombant.
Qu’est-ce qu’un transfert de Hohmann et pourquoi est-il si utilisé ?
Un transfert de Hohmann est une manœuvre orbitale qui utilise une ellipse dont le périgée touche l'orbite de départ et l'apogée touche l'orbite d'arrivée, reliant ainsi deux orbites circulaires avec seulement deux impulsions de moteur (une pour entrer sur l'ellipse, une pour s'en extraire). Il s'agit, sous certaines conditions usuelles, du transfert qui consomme le moins de carburant entre deux orbites circulaires coplanaires, ce qui explique sa popularité pour la mise à poste des satellites géostationnaires ou les missions interplanétaires.
Peut-on utiliser cette équation pour une orbite parabolique ou hyperbolique ?
L'équation vis-viva reste valable pour une trajectoire parabolique (en prenant a infini, ce qui correspond exactement au cas limite de la vitesse de libération) et pour une trajectoire hyperbolique (en utilisant un demi-grand axe négatif par convention), mais ce calculateur se limite volontairement au cas elliptique le plus courant, avec un demi-grand axe positif — le cas hyperbolique, utilisé par exemple pour les sondes qui quittent définitivement le système solaire, mériterait un calculateur dédié tenant compte de cette convention de signe particulière.