Calculateur de suite arithmético-géométrique
Rédigé par Thierno Sadou Diallo, formule vérifiée selon notre méthodologie • Mis à jour le 25/08/2026
Une suite arithmético-géométrique est définie par u(n+1) = a×u(n) + b. Sa formule fermée (pour a≠1) est u(n) = aⁿ×(u₀−L) + L, avec L=b÷(1−a). Pour a=2, b=1 et u₀=1, le terme u(3) vaut exactement 15 — la suite bien connue 1, 3, 7, 15, 31...
Explication
Une suite arithmético-géométrique combine, comme son nom l'indique, les deux types de récurrence les plus simples : à chaque étape, le terme précédent est d'abord multiplié par un coefficient a (comme dans une suite géométrique), puis on lui ajoute une constante b (comme dans une suite arithmétique). Cette structure englobe en réalité les deux calculateur de suite arithmétique et calculateur de suite géométrique déjà publiés comme cas particuliers : fixer a=1 supprime l'effet multiplicatif et redonne une suite purement arithmétique, tandis que fixer b=0 supprime l'ajout constant et redonne une suite purement géométrique. La clé pour résoudre cette récurrence sans avoir à calculer terme par terme est de repérer son POINT FIXE L=b÷(1−a) : c'est la valeur particulière qui, une fois atteinte, resterait inchangée indéfiniment (car a×L+b=L par définition). En soustrayant ce point fixe du premier terme, la suite se comporte alors exactement comme une suite géométrique pure de raison a autour de ce point, ce qui donne la formule fermée u(n)=aⁿ×(u₀−L)+L. Cette technique de résolution par point fixe est un outil récurrent en mathématiques appliquées, utilisé bien au-delà des suites numériques pures : elle apparaît par exemple dans l'analyse de stabilité des systèmes dynamiques, où l'on cherche de la même façon les états d'équilibre autour desquels un système évolue.
Exemple : la suite 1, 3, 7, 15, 31...
Données d'entrée
Premier terme : u₀=1. Coefficient a=2. Coefficient b=1. Rang recherché : n=3.
Calcul
Point fixe L = 1÷(1−2) = −1. u(3) = 2³×(1−(−1)) + (−1) = 8×2 − 1 = 16 − 1 = 15.
Résultat
Le quatrième terme de cette suite (u₃, en comptant u₀ comme le premier) vaut exactement 15, conforme à la suite calculée terme par terme : 1 → 3 → 7 → 15.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si a=1 ?
Le point fixe L=b÷(1−a) n'est alors plus défini (division par zéro), ce qui est cohérent avec le fait que la suite ne converge vers aucune valeur particulière dans ce cas : elle dégénère simplement en une suite arithmétique classique, où chaque terme s'obtient en ajoutant b au précédent sans aucun effet multiplicatif. La formule u(n)=u₀+n×b, utilisée automatiquement par ce calculateur dans ce cas précis, en est la conséquence directe.
La suite converge-t-elle toujours vers une valeur finale ?
Non, seulement si la valeur absolue de a est strictement inférieure à 1 : dans ce cas, le terme aⁿ tend vers zéro à mesure que n augmente, et la suite se rapproche indéfiniment de son point fixe L. Si |a| est supérieure à 1, au contraire, la suite s'éloigne de plus en plus de ce point fixe et diverge vers l'infini (ou vers moins l'infini, selon le signe de u₀−L) ; si a=−1, la suite oscille indéfiniment sans converger ni diverger.
Comment vérifier que cette formule fermée est correcte sans la recalculer à la main ?
Le moyen le plus fiable est de comparer le résultat de la formule fermée à un calcul terme par terme (en appliquant littéralement u(n+1)=a×u(n)+b, n fois de suite depuis u₀) : les deux méthodes doivent toujours donner exactement le même résultat pour n'importe quelles valeurs de a, b et n, ce qui a été vérifié explicitement lors de la conception de ce calculateur, précisément pour confirmer que la formule fermée résout bien la récurrence sans raccourci approximatif.